任意角是指角度可以是任意大小的角。在数学中，角度是用来度量旋转的大小。任意角的教案可以是针对学生学习任意角概念和性质的教学设计。通过教案，学生可以了解到任意角的定义、度量方法、性质和相关的定理。教案可以包括教学目标、教学内容、教学方法、教学过程和评价方式等。下面是小编精心整理的任意角的教案设计，欢迎大家阅读！
任意角的教案设计1
一．学习目标
1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握正角，负角以，零角以及终边相同角的概念
2.掌握终边相同角的表示方法。
3.理解推广过后的角的概念 二．教学重点，难点
重点：理解并掌握正角负角零角的概念和终边相同角的表示方法。
难点：终边相同角的表示 三．教学方法
讲授法，讨论法，课件演示法 四．教学过程
教师问：1.初中我们所学的角是怎么定义的？角的范围为多少？
2.在实际生活中是否所有的角的范围都在我们所定义的范围内？
学生答：1.从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形,范围00,3600
教师引入：现实中其它角
1.体操上有直体后空翻转体720度的高难度动作,直体前空翻转体360o接直体前空翻转体540度,俄式挺身转体1080度,“程菲跳”。
2.教室里的钟表分针，时针转过的角度。
总结：上面的实例中，已经形成了更大范围内的角，这些角显然超过了我们的认识范围，那
么我们应该怎样重新定义角，并研究这些角的分类？这将是我们这节课所要学习的。 角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.如课件上所示。
角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角.零角：射线没有任何旋转形成的角.负角：按顺时针方向旋转形成的角
??注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角?a ”或“∠?a ”可以简写成“?a ”；
⑵零角的终边与始边重合，如果a角是零角，则?a= 0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． 练习：课件所示填一填 第二个内容： 象限角的概念：
定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(注：若角的终边落于坐标轴上，则此角不属于任何一个象限称为轴线角） 例1．图⑴中的角分别表示多少度，并属于第几象限角？
练习1．在同一直角坐标系中，画出图形并指出它们是第几象限的角 终边相同的角：观察上面练习的角390°，-330°和30°的角有什么关系？ 两个角和30°的角的终边相同
思考：终边相同的角有什么特点？（都相差整数个周角）
终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与k个周角的和 390°=30°+360°
-330°=30°-360°
30°=30°-0*360°
1470°=30°+4*360°
终边相同的角的表示：所有与角a终边相同的角，连同?在内，可构成一个集合S＝{b| b?=a+k·360 °, k∈Z }，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和
注意：⑴
k∈Z，⑵ a是任意角⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；
例2．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．
练习2：1.在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角.（1）-1050 °；
（2）395°；
2.在-720°到720°的范围内，找出与45°终边相同的角 五．课堂小结
1.角的定义2.角的分类：正角、零角、负角3.象限角4.终边相同的角的表示法．
任意角的教案设计2
教学目标
一、知识与技能
（1）理解并掌握弧度制的定义;
（2）领会弧度制定义的合理性;
（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式;
（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算;
（5）角的集合与实数集 之间建立的一一对应关系。
（6） 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证**的，而不是孤立、割裂的关系。
二、过程与方法
创设情境，引入弧度**量角的大小，通过探究理解并掌握弧度制的定义，领会定义的合理性。根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式。以具体的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器。
三、情态与价值
通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制———弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证**的，而不是孤立、割裂的关系。角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集 之间建立了一一对应关系：即每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备。
教学重难点
重点： 理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用。
难点： 理解弧度制定义，弧度制的运用。
教学工具
投影仪等
教学过程
一、 创设情境，引入新课
师：有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1。6公里）
显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制。他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1。6公里。
在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生，另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制———弧度制。
二、讲解新课
1。角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，*角等于180度，直角等于90度等等。
弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本，自行解决上述问题。
2。弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）。
（师生共同活动）探究：如图，半径为的圆的圆心与原点重合，角的终边与轴的正半轴重合，交圆于点，终边与圆交于点。请完成表格。
我们知道，角有**零角之分，它的弧度数也应该有**零之分，如—π，—2π等等，一般地， 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的**主要由角的旋转方向来决定。
角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系：即每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应。
四、课堂小结
度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行;在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad sinp表示prad角的正弦应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
五、作业布置
作业：习题1。1 A组第7，8，9题。
任意角的教案设计3
教学目标
1、 知识与技能
(1)能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系;(2)能正确运用进行三角函数式的求值运算;(3)能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数(式)的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧;(4)运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。
2、 过程与方法
回忆初中所学的几个三角函数之间的关系，用高中所学的同角三角函数之间的关系试着进行证明;掌握几种同角三角函数关系的应用;掌握在具体应用中的一定技巧和方法;理解并掌握同角三角关系的简单变形;提高学生恒等变形的能力，提高分析问题和解决问题的能力。
3、 情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们加深理解基本关系在本章中的地位;认识事物间存在的内在联系，使学生面对问题养成勤于思考的习惯;培养学生良好的学习方法，进一步树立化归的数学思想方法。
教学重难点
重点: 同角三角函数之间的基本关系，化简与证明。
难点: 化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用。
教学工具
投影仪
教学过程
【创设情境，揭示课题】
同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过，只不过当时应用不是很多，那么到底有哪些?它们成立的条件是什么?学习实践中，你还发现了哪些关系?今天这节课，我们就来讨论这些问题。
【探究新知】
在初中我们已经知道，对于同一个锐角α，存在关系式：
2.学生课堂练习
教材P66练习1和P67练习2
五、归纳整理，整体认识
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要数学思想方法有那些?
(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?
六、布置作业
教材P68习题中1—6
课后小结
归纳整理，整体认识
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要数学思想方法有那些?
(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?
课后习题
作业
教材P68习题中1、6
板书
略
任意角的教案设计4
一、 教学目标
1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.
2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验.
3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.
4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度.
二、 重点、难点、关键
重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法.
难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数.
关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( α确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着α的变化而变化).
三、 教学理念和方法
教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.
根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.
四、 教学过程
[执教线索:
回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)——问题情境:能推广到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系(为何?)——优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展:对任意角研究六个比值(与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析(对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习——回顾小结——布置作业]
(一)复习引入、回想再认
开门见山,面对全体学生提问:
在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?
探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下:
(情景1)什么叫函数?或者说函数是怎样定义的?
让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:
传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,自变量x的取值范围叫做函数的定义域.
现代定义:设a、b是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数,在集合b中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称映射?:a→b为从集合a到集合b的一个函数,记作:y= f(x),x∈a ,其中x叫自变量,自变量x的取值范围a叫做函数的定义域.
任意角的教案设计5
第一课时 1.1.1 任意角
教学要求：理解任意大小的角正角、负角和零角，掌握终边相同的角、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角.
教学重点：理解概念，掌握终边相同角的表示法.
教学难点：理解角的任意大小.
教学过程：
一、复习准备：
1.提问：初中所学的角是如何定义？角的范围？
（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；0°～360°）
2.讨论：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ → 说明研究推广角概念的必要性
（钟表；体操，如转体720°；自行车车轮；螺丝扳手）
二、讲授新课：
1.教学角的概念：
① 定义正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转所形成的角叫零角.
② 讨论：推广后角的大小情况怎样？ （包括任意大小的正角、负角和零角）
③ 示意几个旋转例子，写出角的度数.
④ 如何将角放入坐标系中？→定义第几象限的角.
（概念：角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合. 那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. ）
⑤ 练习：试在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别在第几象限？
⑥ 讨论：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？
结论：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.
口答：锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
⑦ 讨论：与60°终边相同的角有哪些？都可以用什么代数式表示？
与α终边相同的角如何表示？
⑧ 结论：与α角终边相同的角，都可用式子×360°＋α表示，∈Z，写成集合呢？
⑨ 讨论：给定顶点、终边、始边的角有多少个？
注意：终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍
2.教学例题：
① 出示例1：在0°～360°间，找出下列终边相同角：－150°、1040°、－940°.
（讨论计算方法：除以360求正余数 →试练→订正）
② 出示例2：写出与下列终边相同的`角的集合，并写出－720°～360°间角.
120°、－270°、1020°
（讨论计算方法：直接写，分析的取值 →试练→订正）
③ 讨论：上面如何求的值？ （解不等式法）
④ 练习：写出终边在x轴上的角的集合，轴上呢？坐标轴上呢？第一象限呢？
⑤ 出示例3：写出终边直线在=x上的角的集合S, 并把S中适合不等式
的元素 写出来. （师生共练→小结）
3. 小结：角的推广；象限角的定义；终边相同角的表示；终边落在坐标轴时等；区间角表示.
三、巩固练习：
1. 写出终边在第一象限的角的集合？第二象限呢？第三象限呢？第四象限呢？直线=-x呢？
2. 作业：书P6 练习3 ③④、4、5题.
第二课时：1.1.2 弧度制（一）
教学要求：掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念.
教学重点：掌握换算.
教学难点：理解弧度意义.
教学过程：
一、复习准备：
1. 写出终边在x轴上角的集合 .
2. 写出终边在轴上角的集合 .
3. 写出终边在第三象限角的集合 .
4. 写出终边在第一、三象限角的集合 .
5. 什么叫1°的角？计算扇形弧长的公式是怎样的？
二、讲授新课：
1. 教学弧度的意义：
① 如图：∠AOB所对弧长分别为L、L’，半径分别为r、r’，求证： ＝ .
② 讨论： 是否为定值？其值与什么有关系？→结论： ＝ =定值.
③ 讨论： 在什么情况下为值为1？ 是否可以作为角的度量？
④ 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角. 用rad表示，读作弧度.
⑤ 计算弧度：180°、360°→ 思考：－360°等于多少弧度？
⑥ 探究：完成书P7 表1.1-1后，讨论：半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α弧度数=？
⑦ 规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α弧度数的绝对值为|α|＝ . 用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制.
⑧ 讨论：由弧度数的定义可以得到计算弧长的公式怎样？
⑨ 讨论：1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？→度表示与弧度表示有啥不同？
－720°的圆心角、弧长、弧度如何看？
2 .教学例题：
①出示例1：角度与弧度互化： ； .
分析：如何依据换算公式？（抓住：180°=p rad） → 如何设计算法？
→ 计算器操作： 模式选择 MODE MODE 1(2)；输入数据；功能键SHIFT DRG 1(2)=
② 练习：角度与弧度互化：0°；30°；45°； ； ；120°；135°；150°；
③ 讨论：引入弧度制的意义？（在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系）
④ 练习：用弧度制表示下列角的集合：终边在x轴上；终边在轴上.
3. 小结：弧度数定义；换算公式（180°=p rad）；弧度制与角度制互化.
三、巩固练习：
1. 教材P10 练习1、2题.
2. 用弧度制表示下列角的集合：终边在直线=x； 终边在第二象限； 终边在第一象限.
3. 作业：教材P11 5、7、8题.
第三课时：1.1.2 弧度制（二）
教学要求：更进一步理解弧度的意义，能熟练地进行弧度与角度的换算. 掌握弧长公式，能用弧度表示终边相同的角、象限角和终边在坐标轴上的角. 掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式
教学重点：掌握扇形弧长公式、面积公式.
教学难点：理解弧度制表示.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：什么叫1弧度的角？1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？扇形弧长公式？
2. 弧度与角度互换：－ π、π、－210°、75°
3. 口答下列特殊角的弧度数：0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、…
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例：用弧度制推导：S ＝ LR； .
分析：先求1弧度扇形的面积（ πR ）→再求弧长为L、半径为R的扇形面积？
方法二：根据扇形弧长公式、面积公式，结合换算公式转换.
② 练习：扇形半径为45，圆心角为120°，用弧度制求弧长、面积.
③ 出示例：计算sin 、tan1.5、cs
（口答方法→共练→小结：换算为角度；计算器求）
② 练习：求 、、的正弦、余弦、正切.
2. 练习：
①. 用弧度制写出与下列终边相同的角，并求0～2π间的角.
π、－675°
② 用弧度制表示终边在x轴上角的集合、终边在轴上角的集合？终边在第三象限角的集合？
③ 讨论：α＝×360°＋ 与β＝2π＋30°是否正确？
④ α与－ 的终边相同，且－2π<α<2π，则α＝ .
⑤ 已知扇形AOB的周长是6c，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.
解法：设扇形的半径为r，弧长为l，列方程组而求.
3. 小结：
扇形弧长公式、面积公式；弧度制的运用；计算器使用.
三、巩固练习：
1. 时间经过2小时30分，时针和分针各转了多少弧度？
2. 一扇形的中心角是54°，它的半径为20c，求扇形的周长和面积.
3. 已知角α和角β的差为10°，角α和角β的和是10弧度，则α、β的弧度数分别是 .
4. 作业：教材P10 练习4、5、6题.
任意角的教案设计6
一、教学目标
1．理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角.2．能在0°到360°范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为
第几象限角.
3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.二、教学重点与难点
1.将0°到360°的角概念推广到任意角.2.终边相同的角用集合和符号语言正确表示出来.三、教学过程
（一）回顾已学0°~ 360°范围内的角.
活动一：用你的两支笔表示0°~ 360°范围内的角；
活动二：例举生活中不在0°~ 360°范围内的角.
（二）建构数学
1.角的概念
2.任意角
活动三：比较两锐角的大小
活动四：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平
面直角坐标系，在同一平面直角坐标系中画出下列各小题
中的三个角. （1）60°，?300°，420°；
（2）120°，480°，840°；
（3）90°， 450°，?270°.
问题1：你能通过观察发现同一组中三个角的终边有何关系吗? 问题2：你能再写出一个与60终边相同的角吗?
问题3：你能写出所有与60终边相同的角?吗? 问题4：根据上述探索，你能总结出一般性的结论吗?
3．终边相同角的表示
问题5：你能发现这三组角的终边在平面直角坐标系中的位置有何不同? 4．象限角、轴线角
（三）小组合作，讨论探究
围绕终边相同角的表示这一知识点，请每小组组长任意写出几个角，组员判断这
些角的终边位置.
研究：如何判断一个角的终边位置？
变式：角?与60终边相同，那么?是第几象限角？
2 （四）课堂小结
1．知识小结：角的概念、角的大小、角的位置、角的关系；
2．数学思想小结.说明：
三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续。本节课是三角函数的第一节课，学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要。
初中学生已经接触到角的定义，角的范围仅限于0°~ 360°。利用活动一，让学生体会周角是旋转形成；活动二，让学生体会旋转的两个要素；再结合实际生活中的例子，引发学生的的认知冲突，激发学生的求知欲望，让学生体会角的推广的必要性。让学生在好奇心的推动下，充分的调动学生的自主探究的内在动力，，让学生自学本节角的概念的推广。有了角的概念，通过活动三，直接告知学生建立适当的直角坐标系，在平面直角坐标系中研究角。
学生会画角的前提下，“终边相同的角之间的关系”的学习，可以从三组角出发，让学生在画图过程中体会观察一般性的结论。使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程，学生易于接受。通过5个问题的追问，让学生观察角的变化规律，从而将数与形联系起来，利用特殊与一般的思想，使角的几何表示和集合表示相集合。最后才给出象限角和轴线角的概念，简单易懂。
小组合作，讨论探究，自己出题自己做，让学生体会终边相同的角的表示这一知识点的应用，学会如何判断一个角的终边位置在哪儿。
本节课，从0°~ 360°范围的角推广到任意角，最后通过转化与化归的思想，又回到0°~ 360°的角，也是这节课的宗旨。除了让学生学到角的知识，更让他们体会这些数学思想！
任意角的教案设计7
教学目标
(一)知识与技能目标
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角)与区间角的概念.
(二)过程与能力目标
会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写.
(三)情感与态度目标
1.提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识.
教学重点
任意角概念的理解;区间角的集合的书写.
教学难点
终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写.
教学过程
一、引入：
1.回顾角的定义
①角的定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
②实际生活中出现一系列关于角的问题。在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o”(即转体2周)，“转体1080o”(即转体3周);再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转?如果慢了5分钟，又该如何校正?
二、新课：
1.角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成
一个角a，点O是角的顶点，射线OA,OB分别是角a的终边、始边。
2.角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角;
负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;
零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。
3.象限角：
在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与X轴的非负轴重合，则
(1)象限角：若角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
例如：30o,390o,-330o都是第一象限角;300o,-60o是第四象限角。
(2)非象限角(也称象限间角、轴线角)：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。例如：90o,180o,270o等等。
例1在00与3600范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角?
(1)-1200(2)6400(3)-950o12′
例2若a=k*360o-1575o，试判断角a所在象限。
4.由特殊角30o看出：所有与30o角终边相同的角，连同30o角
自身在内，都可以写成30o+k*360o(k属于Z)的形式;反之，所有形如30o+k*360o(k属于Z)的角都与30o角的终边相同。从而得出一般规律：终边相同的角的集合：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合
S={B|B=a+360o，k属于Z}即：任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和。
说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
例3写出下列各边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素
写出来：(1)60o;(2)-21o;(3)363o14′.
自主练习
(1)教材第6页3、4、5题.
(2)补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为，分针转过的角度为。
作业
1.思考：你知道角是如何推广的吗?象限角是如何定义的呢?你熟练掌握具有相同终边角a的表示了吗?
任意角的教案设计8
教学目标：
要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点：
理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
教学难点：
“旋转”定义角
课标要求：
了解任意角的概念
教学过程：
一、引入
同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。
二、新课
1．回忆：初中是任何定义角的？
（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”
○○师：初中时，我们已学习了0～360角的概念，它是如何定义的呢？
生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
师：如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
o师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720”（即o转体2周），“转体1080”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？
00生：逆时针旋转30；顺时针旋转30.
师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周??，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握～
角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．
2.角的概念的推广：
(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的’始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。
3．正角、负角、零角概念
师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它00等于30与750；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？
生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
00师：如图3，以OA为始边的角α=-150，β=-660。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。
师：好，角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为α.
4.象限角
师：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？
生：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
师：很好，从刚才这位同学的回答可以知道，她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这么三个问题：
1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？
2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？
3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？
处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。
答：1.不行，始边包括端点（原点）；
2．端点在原点上；
3．不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。
师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。
00000师生讨论：好，按照象限角定义，图中的30，390，-330角，都是第一象限角；300，-60
0角，都是第四象限角；585角是第三象限角。
师：很好，不过老师还有几事不明，要请教大家：
（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？
生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；
0师：（2）锐角就是小于90的角吗？
0生：小于90的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；
00师：（3）锐角就是0～90的角吗？
000000生：锐角：{θ|0<θ<90}；0～90的角：{θ|0≤θ<90}.
学生练习（口答）已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
0000（1）420；（2）-75；（3）855；（4）-510.
答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.
5.终边相同的角的表示法
师：观察下列角你有什么发现?390??330?30?1470??1770?
生:终边重合.
0师:请同学们思考为什么？能否再举三个与30角同终边的角？
0000000000生：图中发现390，-330与30相差360的整数倍，例如，390=360+30，-330=-360+30；
000与30角同终边的角还有750，-690等。
0师：好！这位同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差360的整数倍。例
0000000如：750=23360+30；-690=-23360+30。那么除了这些角之外，与30角终边相同的角还有：
000033360+30-33360+30
000043360+30-43360+30
000由此，我们可以用S={β|β=k3360+30，k∈Z}来表示所有与30角终边相同的角的集合。
师：那好，对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？
0生：S={β|β=α+k3360，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
任意角的教案设计9
1.1.1 任意角
课时设计 课堂实录
1.1.1 任意角
1第一学时 教学活动 活动1【导入】 1.1.1任意角
探究新知
2014年南宁体操世锦赛，在10月8日进行的女团决赛中，美国队小将麦凯拉·斯金内尔（MyKayla Skinner）在自由操里的高难度动作：直体后空翻两周加纵轴转体720度，震惊四座，这里的转体720度就是一个角的概念.
1.角的定义
角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.
2.正角、负角、零角
规定：
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．
如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.
3.象限角
在直角坐标系中，角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.
如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.
练习：
指出下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分别是第几象限的角？
探究新知
思考1：锐角是第几象限的角？钝角？直角？
思考2：第一象限的角一定是锐角吗？
思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
总结:象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
思考4：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？
终边在该位置的角一定是135°吗？
思考5：与135°角终边相同的角有多少个？
这些角与135°角在数量上相差多少？
思考6：所有与135°角终边相同的角，连同135°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
4.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合:
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}
任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
129°48′，第二象限角.
思考1：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？
思考2：终边在x轴非负半轴、非正半轴，y轴非负半轴、非正半轴上的角分别如何表示？
思考3：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？
例2 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤ ＜720°的元素写出来.
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.
例3 如果α是第二象限的角，那么α/2、2α分别是第几象限的角？
90°＋k·360°<α<180°＋k·360°
45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180° 第一、三象限的角
180°＋k·720°<2α<360°＋k·720° 第三、四象限或终边在y轴的负半轴的角
课后作业:
P9 A组 1、2、3
我校是一所市级示范性农村高中，学生整体素质一般，基础知识不太好；本节知识在初中的学习中接触过；而且平时的生活中也时有所闻。可以说，这块知识是学生自认为比较熟悉的内容。但可能会受已有知识体系的影响，不愿主动地构建新的知识体系，因而适当增加课堂容量，拓宽视野，活化思维以及培养学生的能力是十分必要的。
任意角的教案设计10
共1课时
1.1.1 任意角 高中数学 人教A版2003课标版
1教学目标
1.理解任意角的概念，能区分各类角的概念．
2．掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角．(难点)
3．理解终边相同的角的含义及其表示，并能解决有关问题．(重点)
2学情分析
1.解答与任意角有关的问题的关键在于抓住角的四个“要素”：顶点、始边、终边和旋转方向．
2．确定任意角的大小要抓住旋转方向和旋转量．
3．学习象限角时，注意角在直角坐标系中的放法，在这个统一前提下，才能对终边落在坐标轴上的角、象限角进行定义.
3重点难点
掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角．(难点)
理解终边相同的角的含义及其表示，并能解决有关问题．(重点)
4教学过程 4.1第一学时 教学活动 活动1【讲授】任意角
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
(3)角的分类
按旋转方向，角可以分为三类：
名称
定义
图形
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
2.象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)第一象限角都是锐角．( )
(2)锐角都是第一象限角．( )
(3)第一象限角一定不是负角．( )
(4)今天是星期四，那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期三．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．下列与95°角终边相同的角是( )
A．－5° B．85°
C．395° D．－265°
答案：D
3．－1 120°角的终边所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.由题意，得－1 120°＝320°＋(－4)×360°，而320°角的终边在第四象限，所以－1 120°角的终边也在第四象限．
4．与－225°角终边相同的角的集合是________，在[－720°，360°)内与－225°角终边相同的角为________．
答案：{x|x＝k·360°－225°，k∈Z} －585°，135°
任意角的教案设计11
一．内容和内容解析
三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续。为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具。 本节课是三角函数的第一节课，学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要。 本节课的教学重点是：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角、象限角的表示方法及判断。 二．目标和目标解析
1．结合实例体验角的概念推广的必要性；从运动的观点出发，进行角的概念推广，理解并掌握正角、负角、零角的定义；
2．能用集合和数学符号表示终边相同的角，即掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；
3．能建立适当的坐标系来讨论任意角，理解象限角、坐标轴上的角的概念，并能用集合和数学符号表示；
4．在角的概念的推广的过程中，树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；
5．通过正角、负角、零角与正数、负数、零的类比，培养学生的类比思维能力； 6．通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法； 三．教学问题诊断分析
本节课的教学难点是：把终边相同的角、象限角用集合和数学符号语言正确地表示出来。 1．学生在理解终边相同的角的表示方法上，会出现障碍，其原因是：刚刚将角的概念推广，还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质；
2．学生在学习了教材例1后，做p6第4题，仍然感到困难，其原因是：当角为负角时，在00～3600范围内找出终边相同的角，不知怎样计算，教学时应给学生介绍计算方法； 3．学生在学习了象限角的概念后，怎样用集合和数学符号语言正确地表示象限角（如：第一象限角），会出现障碍，其原因是：对第一象限角是有无数个区间构成，它们的终边是“周而复始”的现象的刻画还不了解，教师要进一步的解释k·3600的运用特点。 四．学习行为分析
1．初中学生已经接触到角的定义，角的范围仅限于00～3600。结合实际生活中的例子，由教材的“思考”问题出发，引发学生的的认知冲突，激发学生的求知欲望，让学生体会角的推广的必要性。让学生在好奇心的推动下，充分的调动学生的自主探究的内在动力，利用类比和数形结合的思想，借助信息技术工具（如：几何画板），让学生在动态的过程中体会“既要知道旋转量，又要知道旋转方向”才能准确的刻画角的形成过程的道理。学习本节角的概念的推广困难不大。
2．“终边相同的角之间的关系”的学习，可以从特例出发，通过填空的方式，使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程，学生易于接受。这里可以借助信息技术工具（如：几何画板），建立适当的直角坐标系，画出任意角，并测出角的大小，同时旋转角的终边，让学生观察角的变化规律，从而将数与形联系起来，使角的几何表示和集合表示相集合。
五．教学支持条件分析
借助信息技术工具（如：几何画板），制作课件。【可参考人民教育出版社配套《教师用书》后的光盘中数学4的资源】
1．角的推广在角的旋转量、旋转方向上给学生以动态的体会；
2．动态的表现角的终边旋转过程，有利于学生观察到角的变化与终边的位置关系，从特殊到一般，让学生发现并验证终边相同的角的表示方法。 六．教学过程设计 1．教学程序与环节设计
创设情境
↓ 组织探究
↓ 例题分析
↓ 尝试练习
↓ ——
——
——
——
实际问题出发，激起学生的求知欲望。 角的概念的推广，象限角的定义、终边相同的角的表示方法。
通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角。
象限角的判断、终边相同的角的表示方法。 让学生复习本节主要内容，完善学生的认知结构，体会数学思想方法。
作业与反馈，关注学生的能力差异。 在实际生活中体验数学的应用价值。 小结与反思 ——
↓ 评价设计
↓ 课外活动
——
——
2．教学过程与操作设计：
环节 创 教学内容设计
设计意图 提出问题，引发学生的认识冲突，说明角的概念扩展的必要性
师生双边互动
学生：针对上述问题，组织学生进行讨论。学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题是会发现问题，从而引起认知冲突。 思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表 快了小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了设
多少度？
情
境
教师：[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要顺时针或逆时针旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于00～3600之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.1．任意角概念的引入
回顾已有知识 教师：提出问题
学生：回答问题
教师：[展示课件]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位
置旋转到另一个位置所成的图⑴.问题：过去我们是如何定义一 个角的？角的范围是什么？
组 ⑵.举出不在
织
探
究
⑷.给出任意角的定义 例，并加以说明。
⑶.你认为刻画这些角的关键是什么？
让学生认识到
的角的实
举例，再说明所举例的结合具体的实形.学生：
00角为什么不在0～360。 例，感受角的
概念推广的必要性
教师：提供教材中的几个例子。
学生：组织讨论
刻画这些角不教师：引导学生从旋转量、旋转仅要用旋转量，还要用旋转方向。
教师：引导学生通过类比正数、负数和零，定义角的正角、负角
利用新概念重和零角的概念。
新认识问题。
学生：观察图－3，进一步认
方向这两个方面进行思考。
2．象限角
通过尝试探
识正角、负角。
教师：让学生利用任意角的定义，
究，由学生感回答本节开始的“思考”中的表受没有统一标的校正问题。
学生：画图探究，讨论、交流，不难给出合理的放法。
（先让学生以同一条射线为始边作出下列角：210?/span>，－150?/span>，－660?/span>）
⑵.给出象限角的概念
3．终边相同的角
探究：将角按照上述的方法放在直
探究终边相同的角之间的关
⑴.问题：如果把角放在直角坐标准时，角的表系中，那么怎样放比较方便、合示不方便。 理？
系，理解并掌教师：在总结分析合理放法的基握改关系。 础上，给出象限角的概念，并说
从具体问题入手，了解终边相同的角的关系。
然后通过具体例子使学生直接感受象限角的概念。
学生：思考每组角的数量关系。 教师：引导学生用含有其中一个明在同一坐标系下讨论角的好处。
角坐标系中后，给定一个角，就有 唯一的一条终边与之对应。反之，对于直角坐标系内任意一条射线从具体到一ob（如图—5），以它为终边的般，认识终边角的关系式表示另外的角。 角是否唯一？如果不唯一，那么终相同的角的关边相同的角有什么关系？ ⑴.在直角坐标系内标出
系及其表示。 由几何位置“终边相同”210?/span>，－150?/span>角的终探讨其代数特
教师：[展示课件]让学生利用计算机在旋转终边的过程中发现
“终边相同”的角的关系，并利边，你有什么发现？它们有怎样的征的“统一”。 数量关系？328?/span>、－32?/span>、－392?/span>角的终边呢？
⑵.直角坐标系内，角α对应了唯一一条射线（终边），那么是否存在与角α终边相同的角？如果存在，如何表示？ 4．练习
教科书p6练习第1～2题 例1.在00～3600范围内，找出与例 -′角终边相同的角，并判定 题
分 它是第几象限角.
例2.写出终边在y轴上的角的集合.
例3.写出终边直线在y=x上的角
通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角。
用集合表示出来。
学生：口答
教师：通过提问的形式向学生传递答案。
教师：分析、板书例1。
学生：自学例2。
教师：指出这两个集合求并集的关键是把2700改写成900+1800，然后重新组合。
师生：共同完成例3，注意k的正确取值是关键。 析 的集合s,并把s中适合不等式-3600≤α≤7200的元素β写出来.1．教科书p6练习第3～5题 尝 2．补充：
学生：尝试独立完成练习
通过练习，掌试 ①时针经过3小时20分，则时针握象限角的判教师：巡视，个别辅导
断、终边相同转过的角度为 ，分针转过的练 的角的表示方学生：回答结果
角度为 。
法。
习 教师：给出评价
②若角α是第二象限角，则180啊?i>α是第 象限角。 问题：1.你知道角是如何推广的小 吗？象限角是如何定义的呢？
让学生复习本学生：回答，讨论交流，补充
结 2.你掌握了与角α终边相同的角节主要内容，的集合的表示方法吗？
完善学生的认与
知结构，体会3.本节课你体会到哪些数学思想教师：归纳总结，突出重点知识；
数学思想方反 方法？
解决学生的疑惑点。 法。
思 4．在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方？ 评 作业与反馈：
教科书p10习题组第1～3 1．题 价
2．选做题：
①.写出终边在坐标轴上的角的集设
②写出终边在y= 合。
3．【发展要求】
上的角的集能用集合和数
2．判断角是第几象限角；
1．终边相同角的表示； 关注学生的能力差异。
计 合s,并把s中适合不等式-3600≤学语言表示终α
件的角；
③若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是 ；若α与β的终边关于y轴对称，则α与β的关系是 ；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是 。
在实际生活中1．你能举出一些日常生活中的“大于3600的角和负角”的例子吗？与课
同桌交流，并熟练掌握它们的表
体验数学的应用价值
外 示，进一步理解具有相同终边的角的特点． 活
2．【探究学习】如果角α是第二动
象限角，那么 在哪里？
探究学习，激
等角的终边落发学习兴趣。
任意角的教案设计12
1.角的定义
角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.
2.正角、负角、零角
规定：
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．
如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.
3.象限角
在直角坐标系中，角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.
如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.
练习：
指出下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分别是第几象限的角？
探究新知
思考1：锐角是第几象限的角？钝角？直角？
思考2：第一象限的角一定是锐角吗？
思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
总结:象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
思考4：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？
终边在该位置的角一定是135°吗？
思考5：与135°角终边相同的角有多少个？
这些角与135°角在数量上相差多少？
思考6：所有与135°角终边相同的角，连同135°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
4.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合:
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}
任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
129°48′，第二象限角.
思考1：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？
思考2：终边在x轴非负半轴、非正半轴，y轴非负半轴、非正半轴上的角分别如何表示？
思考3：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？
例2 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤ ＜720°的元素写出来.
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.
例3 如果α是第二象限的角，那么α/2、2α分别是第几象限的角？
90°＋k·360°<α<180°＋k·360°
45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180° 第一、三象限的角
180°＋k·720°<2α<360°＋k·720° 第三、四象限或终边在y轴的负半轴的角
课后作业:
P9 A组 1、2、3
我校是一所市级示范性农村高中，学生整体素质一般，基础知识不太好；本节知识在初中的学习中接触过；而且平时的生活中也时有所闻。可以说，这块知识是学生自认为比较熟悉的内容。但可能会受已有知识体系的影响，不愿主动地构建新的知识体系，因而适当增加课堂容量，拓宽视野，活化思维以及培养学生的能力是十分必要的。
任意角的教案设计13
教学目标：
要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点：
理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
教学难点：
“旋转”定义角
课标要求：
了解任意角的概念
教学过程：
一、引入
同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。
二、新课
1．回忆：初中是任何定义角的？
（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”
○○师：初中时，我们已学习了0～360角的概念，它是如何定义的呢？
生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
师：如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
o师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720”（即o转体2周），“转体1080”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？
00生：逆时针旋转30；顺时针旋转30.
师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周??，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握～
角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．
2.角的概念的推广：
(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的’始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。
3．正角、负角、零角概念
师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它00等于30与750；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？
生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
00师：如图3，以OA为始边的角α=-150，β=-660。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。
师：好，角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为α.
4.象限角
师：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？
生：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
师：很好，从刚才这位同学的回答可以知道，她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这么三个问题：
1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？
2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？
3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？
处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。
答：1.不行，始边包括端点（原点）；
2．端点在原点上；
3．不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。
师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。
00000师生讨论：好，按照象限角定义，图中的30，390，-330角，都是第一象限角；300，-60
0角，都是第四象限角；585角是第三象限角。
师：很好，不过老师还有几事不明，要请教大家：
（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？
生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；
0师：（2）锐角就是小于90的角吗？
0生：小于90的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；
00师：（3）锐角就是0～90的角吗？
000000生：锐角：{θ|0<θ<90}；0～90的角：{θ|0≤θ<90}.
学生练习（口答）已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
0000（1）420；（2）-75；（3）855；（4）-510.
答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.
5.终边相同的角的表示法
师：观察下列角你有什么发现?390??330?30?1470??1770?
生:终边重合.
0师:请同学们思考为什么？能否再举三个与30角同终边的角？
0000000000生：图中发现390，-330与30相差360的整数倍，例如，390=360+30，-330=-360+30；
000与30角同终边的角还有750，-690等。
0师：好！这位同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差360的整数倍。例
0000000如：750=23360+30；-690=-23360+30。那么除了这些角之外，与30角终边相同的角还有：
000033360+30-33360+30
000043360+30-43360+30
000由此，我们可以用S={β|β=k3360+30，k∈Z}来表示所有与30角终边相同的角的集合。
师：那好，对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？
0生：S={β|β=α+k3360，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
任意角的教案设计14
导读：
教材首先通过实际问题（体操中的转体、齿轮旋转等）引出角的概念的推广问题，引发学生的认知冲突，将角的范围推广到任意角，在直角坐标系中表示角—象限角，并研究象限角的性质—终边相同的角的代数特征。这样可以使学生更好地理解引入任意角概念的必要性，建立“背景一定义一度量一运算一性质”的研究路径。
教材分析：
1.任意角的概念
教材通过问题，引导学生感受推广角的概念的必要性，使他们认识到要准确地表达旋转运动过程，需要同时说明旋转量和旋转方向。教学时，可以先让学生思考“怎样才能准确地描述旋转现象”，引导学生体会仅用0°~360°的角已经难以回答当前的问题，进而引出学习课题：推广角的范围，如何推广？
学生过去接触的角都在0°~360°,关于角的认识已形成一定的思维定势。为此，除了教材中的例子，教学时还可以再举一些实际例子，用以说明引入新概念的必要性和实际意义.同时，还可以借助信息技术，让学生在动态的过程中体会：角是转出来的，在角的终边“任意”旋转的过程中，角的范围不能限于0°~360°;要准确地刻画一个角，必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向.
初中研究过平面图形的旋转，学生已经知道旋转的“三要素”，这是对旋转的定性刻画，可以作为刻画任意角的一个基础。如何用量化的方法刻画任意角呢？旋转量的大小可以在初中学过的角度制基础上进行推广，这里的关键是用符号表示“方向”，逆时针方向为正、顺时针方向为负.可类比正数、负数的规定，说明正角、负角是用来表示“具有相反意义的旋转量”.如果一条射线没有做任何旋转（即旋转量为0),那么说它形成了一个零角，零角无正负，就像实数0无正负一样.
2.用符号代表方向的意义
任意角是“既有大小又有方向”的角，与向量有很大的可比性，所以我们先来看看用符号代表方向对于向量的意义.
用符号代表方向奠定了轴上向量数量化的基础，由此，就可以实现用实数表示向量：在轴x(具有方向和长度单位的直线）上取一点O为原点，得数轴Ox,并设它的基向量为e,则Ox上任意一点P与向量图片一一对应，而且图片.这里图片叫做向量图片的数量，实际上就是数轴Ox上点P的坐标p,这就是用实数表示向量的方法.
接下来，我们可以把点在轴上的运动、轴上的向量加法、实数的代数和等统一起来：在轴x上，一个点从点A运动到点B,再从点B运动到点C,根据两次运动的不同方向，可以区分出四种情况（图5-3):
图片
但无论如何，从数量上看，最终结果都有图片.这一等式的代数意义实际上就是实数的代数和（表示了多次变化的结果）,它给运算带来了极大方便，我们不必要再区分各种情况了.
显然，用符号表示方向才有图片.这是一个“常识”，但非常值得重视，而且它很重要，它叫沙尔定理，沙尔（MichelChasles,19世纪重要的法国数学家）称之为“几何学的基本定理”，其实质意义是让几何量带上符号，正如伟大的数学家F.克莱因指出的：“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处，初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括。”
在角的扩充过程中，我们让角带上符号而成为任意角，正角的符号为“+”，负角的符号为“-”，于是有：设任意角α的始边、终边分别为OA,OB,让OB旋转任意角β到OC,则由OA旋转到OC的角是α+β.显然，如果α，β不带有符号，那么我们就必须考虑：在OB旋转到OC时，是按顺时针还是按逆时针？
由上所述可知，教材对任意角加法的定义是基于用符号表示方向，其依据是沙尔定理，这是研究三角函数的基础.
3.任意角的度量
关于度量，初中学过两类，一是线段、平面图形和空间图形的大小度量，是十进制，其中线段的长度是基础；二是“用角量角”的角度制，是六十进制。这里把角的范围从0°~360°(不超过一个周角）扩展到任意角，如果记任意角α=x°,那么x∈R.为了定义三角函数的需要，还需要引入“用长度量角”的弧度制.
4.任意角的运算
角的范围扩展到任意角后，角的运算的意义也随之得到扩展。初中学过角的和、差和倍角，角的运算中不考虑方向，两角差只考虑“大角减小角”。角的范围扩充后，不仅可以“小角减大角”，而且对两角和也赋予了全新的意义。教材定义的两个任意角α,β的和是把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β.
这个规定既符合人的直觉，也与实数的运算法则一致，因此它是合理的.
首先，字母α,β表示任意角，它们是带有符号的。当α,β的符号为正时，射线的旋转方向为逆时针；符号为负时，射线的旋转方向为顺时针，为了方便，我们用|a|,|B|表示相应的旋转量.角“α+β”是两次连续旋转的结果，可以分如下几种情况：
(1)α>0,β>0;
(2)α>0,β<0;
(3)α<0,β>0;
(4)α<0,β<0.
下面我们根据任意角的概念做一个分析：
对于（1),角“α+β”的旋转方向为逆时针，旋转量为|α|+|β|.
对于（2),若|α|>|B|,则角“α+β”的旋转方向为逆时针，旋转量为|α|-|β|;若|α|<|β|,则角“α+β”的旋转方向为顺时针，旋转量为|β|-|α|.
对于（3),若|a|<|B|,则角“a+B”的旋转方向为逆时针，旋转量为|β|-|α|;若|α|>|β|,则角“α+β”的旋转方向为顺时针，旋转量为|a|-|β|.
对于（4),角“α+β”的旋转方向为顺时针，旋转量为|α|+|β|.
于是有：同号两角相加，取相同的方向，并把“绝对值”相加；“绝对值”不相等的异号两角相加，取“绝对值”较大的角的方向，并用较大的“绝对值”减去较小的“绝对值”。
显然，旋转量相同，旋转方向相反的两个角相加得零角，我们称这两个角互为相反角，角α的相反角记为-α.。
一个角与零角相加仍得这个角.
综上可知，两角和的运算与实数的加法运算完全一致；同时，像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α-β=α+(-β),即“减去一个角等于加上这个角的相反角”。这样，角的减法可以转化为加法，从几何角度看，就是一条射线绕端点旋转任意角α后再旋转任意角β,这时终边所对应的角是α+β.
5.象限角
引入象限角概念，使角放在一个统一的标准下进行讨论，并进而可以利用任意角、直角坐标系刻画周期性变化现象
在学习象限角时，应强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，在这个统一前提下，才能对象限角进行定义。终边落在坐标轴上是一种“边界”状态，因此规定它不属于任何一个象限更方便
教材169页边空中提出的问题，让学生说说在直角坐标系内讨论角的好处，是为了提醒学生，在同一“参照系”下，可以使角的讨论得到简化，由此还能使角的终边位置“周而复始”的现象得到有效表示.
6.终边相同的角
这是研究具有特殊关系的象限角，可以看成是在定义象限角概念之后研究它的性质。有了终边相同的角的表示，就可以非常方便地得出三角函数的公式一，一般而言，概念明确了研究对象的内涵或组成要素，性质研究的主题之一是内涵或要素之间的关系.从概念出发研究性质是研究数学对象的基本之道.。
对于教材170页的“探究”，我们知道，象限角的始边相同，以射线OB为终边的角有无数个，即这些角有“始边、终边都相同”的共同特征。这一定性特征如何量化？一般而言，具有相同特征的事物一定有内在联系，数学要研究这种联系在数、形上如何表达，特别是要追求精确的量化表示.从定性到定量是研究数学问题的基本策略。
发现联系的方法：借助图象，观察几个与-32°终边相同的角之间的数量关系，在“旋转整数周”的帮助下，通过运算发现共同特征：终边相同的角相差360°的整数倍，并得出表达式；再将-32°推广到一般角α.这里用到数形结合、从特殊到一般、从具体到抽象、通过运算发现规律等，这是数学地探索事物性质的普遍方法.
教学时，可以利用信息技术，在直角坐标系画出任意角，并测出角的大小，再观察角的终边旋转整数周后，其大小与原角之间的关系，从而将数、形联系起来，给出几何意义的代数解释.
这里，从几何角度看，“终边旋转整数周回到原来的位置”而形成“终边相同的角”，用数量关系表示，就是“终边相同的角相差360°的整数倍”，用符号形式表示就是“所有与角a终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}”.
教学中应在教材安排的“与-32°终边相同的角的表示”这个问题上多用些时间，让学生进行操作与思考，应当引导学生认识：①k∈Z;②α是任意角；③终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍。
7.例题
例1实际上是利用终边相同的角的表示，在0°~360°范围内找出与已知角终边相同的角，并由此判定其为第几象限角，事实上这是判定一个角为第几象限角的一般方法，本例为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础，可引导学生先估计图片大致是360°的几倍，然后再具体求解。
例2是终边在坐标轴上的角的表示，应引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式，另外，分析终边与y轴的正半轴、负半轴分别重合的两个角的集合的联系，可以简化集合的表示，实质是“终边组成一条直线”的代数解释“两个集合中的元素相差180°的整数倍。”
例3是让学生表示终边在已知直线的角，巩固终边相同的角的表示.例3与例2的本质是一样的，所以教学时应引导学生分析它们的共性，在此基础上还可以推广到其他直线，为了使学生顺利完成相应的集合运算，可以先让学生用日常语言描述一下集合的特征。
任意角的教案设计15
教学目标
1．结合实例体验角的概念推广的必要性；能建立适当的坐标系来论任意角，并能熟运用集合和数学符号表示终边相同的角。
2．培养学生的类比思维能力和形象思维能力。
3．通过任意角概念的学习，体验角的概念扩展的必要性，促进学生对数学知识形成过程的认识，用数学知识认识世界，从而培养学生善于思考，勤于动手的良好品质。 教学重难点
重点：将0～360的角的概念推广到任意角。 难点：角的概念的推广，终边相同角的表示。 教学方法
本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的 教学过程
00一.创设情境（引入）：（互动）请两名同学起立，做由“面向黑板转体背向黑板”的动作，在这个过程中他们各转体了多少度？(引导学生关注旋转的方向和旋转的量着两个要点)。 我们会发现角已不仅仅局限于0～360之间，这正是我们这节课要研究的主要内容———任意角。
二．探究新知，建立概念 (1) 任意角概念的引入
问题1：过去我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？
师生活动：教师：[展示课件]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.问题2：你能举出不在0～360的角的实例，并加以说明吗
学生：举例，再说明所举例的角为什么不在0～360。教师：提供教材中的几个例子。 (2)概念讲解
1.角的概念的推广：
(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。 2.正角、负角、零角概念（类比正负数的规定）
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射
- 1
00
0
四.练习
1．与-1778°的终边相同且绝对值最小的角是___________ 。 2．A={小于90°的角}，B={第一象限的角}则A∩B等于 （ ） A.{锐角} C.{第一象限的角} B.{小于90°的角} D.以上说法都不对 五.小结
1.任意角的概念 2.象限角 3.终边相同的角 4.象限角的判断
六．思考 终边在第
一、
二、
三、四象限的角的集合分别如何表示？
七.作业：红对勾训练1课时 八.板书设计：略 九.教学反思：
以上是关于任意角的教案及反思的相关内容分享，希望本文能够为您提供有价值的信息，感谢您的阅读！
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